9. Espelhos Esféricos

Imagine uma esfera oca que sofra um corte por uma lâmina plana na vertical:


O corte é chamado de calota esférica. A face externa é chamada de convexa, e a interna de côncava.

Se a face convexa da calota for espelhada, dizemos que é um espelho esférico convexo.
Se a face côncava da calota for espelhada, dizemos que é um espelho esférico côncavo.




Elementos Geométricos dos Espelhos Esféricos

















- O centro C da esfera imaginária  que contém a calota é chamado de centro de curvatura do espelho esférico.

- O ponto mais mais profundo da calota V é chamado de vértice do espelho esférico.

- O eixo que passa pelo centro de curvatura C e do vértice V é chamado de eixo principal do espelho esférico.

- O segmento de reta R que liga o centro C de curvatura a qualquer ponto da calota, é chamado de raio de curvatura do espelho esférico.

- O ângulo α entre o eixo principal e o raio R que passa pela borda do espelho,  é chamado de ângulo de abertura do espelho esférico.

Os espelhos esféricos podem ser representados das seguintes formas:























Precisamos ainda conhecer mais alguns elementos geométricos desses espelhos.


O ponto médio F do segmento que liga o centro de curvatura C ao vértice V, é chamado foco do espelho. A distância f entre o vértice V ao foco F, é chamada de distância focal do espelho.


Para estudarmos como as imagens se formam nesses espelhos, precisamos conhecer como alguns raios de luz são refletidos, os chamados raios notáveis

Vamos conhecê-los?

Raios notáveis nos espelhos convexos.

I . Espelhos Convexos

a) Raio que incide paralelamente ao eixo principal, é refletido na direção do foco F:





b) Raio que incide na direção do foco F, é refletido paralelamente ao eixo principal:





c) Raio que incide na direção do centro C, é refletido na mesma direção:





d) Raio que incide na direção do vértice V, é refletido formando o mesmo ângulo com o eixo principal.






II . Espelhos Côncavos

a) Raio que incide paralelamente ao eixo principal, é refletido na direção do foco F:




b) Raio que incide na direção do foco F, é refletido paralelamente ao eixo principal.





c) Raio que incide na direção do centro C, é refletido na mesma direção.




d) Raio que incide na direção do vértice V, é refletido formando um mesmo ângulo com o eixo principal:




Pelo fato dos raios de luz que chegam paralelamente ao eixo principal nos espelhos esféricos côncavos serem refletidos na direção do foco F, eles passam a ter muitas aplicações interessantes:

- Como fogões solares



- Na produção de energia elétrica, a partir da concentração da energia solar





Formação de Imagens

I. Objeto pontual:

Sempre que formos determinar a formação da imagem de um objeto pontual, devemos imaginar dois raios que partam dele, nas direções dos raios notáveis (que sejam convenientes).  A imagem corresponde ao ponto onde os raios refletidos se encontram (imagem real, fora do espelho), ou onde o prolongamento dos raios refletidos se encontram (imagem virtual, dentro do espelho).

Espelho Convexo




Aqui usamos um raio notável que parte do objeto paralelamente ao eixo principal, e outro que parte do objeto e atinge o vértice do espelho.

A imagem fica na intersecção dos prolongamentos dos raios notáveis refletidos. Ela se encontra dentro do espelho, e é virtual. A imagem fica mais próxima do espelho que o objeto.

Nos espelhos convexos, as imagens sempre serão virtuais (dentro do espelho), e estarão entre o vértice V e o foco do espelho.


Espelho Côncavo

a) Objeto além do centro de curvatura C:



imagem fica na intersecção dos raios notáveis refletidos. Ela se encontra fora do espelho, e é real. A imagem fica mais próxima do espelho que o objeto.

b) Objeto sobre o centro de curvatura C:




A imagem  é real, e está sob C, a mesma distância que o objeto está do espelho.

c) Objeto entre  e F:





A imagem  é real, fica além de C, e mais distante que o objeto está do espelho. Quanto mais próximo o objeto estiver de F, mais distante a sua imagem ficará de C.

d) Objeto sobre F:


Nem os raios refletidos, nem seus prolongamentos se encontram. A imagem  estaria no infinito.

e) Objeto entre  V:







Vejam que nos espelhos côncavos as imagens podem se formar de 5 formas diferentes. 



II. Objeto Extenso:

Sempre que formos determinar a formação da imagem de um objeto extenso, vamos colocá-lo sobre o eixo principal, e pensar na formação da imagem do ponto (desse objeto) mais distante daquele eixo. Após determinarmos a imagem desse ponto (como fizemos anteriormente), a imagem do corpo extenso ficará entre e o eixo principal e a imagem daquele ponto.


Espelho Convexo




A imagem de um objeto extenso nos espelhos esféricos convexos têm sempre as mesmas características:

- Virtual (obtida pelo prolongamentos dos raios refletidos);
- Menor que o objeto;
- Sempre se forma entre o vértice V e a o foco do espelho.

A imagem sofre uma inversão em relação à superfície do espelho, e todas as suas dimensões sofrem uma redução na mesma proporção.


Espelho Côncavo

a) Objeto extenso além do centro de curvatura C:



imagem fica na intersecção dos raios notáveis que são refletidos. Ela é real, fora do espelho, invertida em relação ao eixo principal, e menor que o objeto. Um observador teria a ilusão que a imagem real é um objeto (real) na frente dele. 

A imagem sofre uma inversão em relação ao eixo principal. Todas as suas dimensões sofrem uma redução na mesma proporção.

Toda imagem real é sempre invertida em relação ao objeto; por isso vamos considerar que você já sabe disso quando nos referirmos a uma imagem real.


b) Objeto extenso sobre o centro de curvatura C:




A imagem  é real, e está sob C, a mesma distância que o objeto está do espelho.

c) Objeto entre  F:





A imagem  é real, maior que o objeto, e fica além de C. Quanto mais próximo o objeto estiver de F, mais distante a sua imagem ficará de C.

d) Objeto sobre F:



Nem os raios refletidos, nem seus prolongamentos se encontram. A imagem  estaria no infinito. É chamada de imprópria.

e) Objeto entre  V:





Quanto maior a área de um espelho esférico côncavo, maior será a quantidade dos raios de luz captados por ele vindos de um objeto distante, o que proporcionará uma imagem mais nítida.

Por isso, esses espelhos, associados a lentes, são usados em alguns instrumentos ópticos, como os telescópios. Os chamados telescópios refletores

A imagem real conjugada pelo espelho  côncavo faz o papel de um objeto para a lente, que amplia a imagem, permitindo a observação astronômica. Quanto maior o espelho, maior a nitidez da imagem.

O telescópio espacial Hubble usa um enorme espelho côncavo dentro dele para obter imagens de objetos celestes a distâncias inimagináveis da Terra. O fato do telescópio ficar no espaço garante que a atmosfera da Terra não interfira na imagem observada.







 Distorções das Imagens nos Espelhos Esféricos

Se o ângulo de abertura de um espelho esférico for muito grande, a imagem sofrerá distorções, e ficará borrada, as chamadas aberrações esféricas.

Para que isso não aconteça, o matemático, físico e astrônomo Gauss, propôs duas condições para que estas aberrações sejam minimizadas (condições de nitidez de Gauss). São elas: 

- Os raios luminosos vindos do objeto devem chegar ao espelho paralelamente ao eixo principal, ou pouco inclinados em relação a ele.  Os chamados raios para-axiais.

O ângulo de abertura do espelho deve ser pequeno (a<10o). 



Na figura abaixo, perceba que os raios de luz que chegam de objetos distantes (a casa, por exemplo) atendem à 1a condição de nitidez de Gauss (chegam praticamente paralelos ao eixo principal do espelho esférico, devido à grande  distância), por isso a imagem da casa fica nítida. Os raios de luz que chegam de objetos mais próximos não atendem aquelas condições, e as imagens ficam borradas.




Vamos estudar a matemática envolvida na formação de imagens nos espelhos esféricos?

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